等式性质教学手记：当五年级课堂变成一座天平

【来源：易教网 更新时间：2025-12-23】

那个歪着脑袋问“为什么”的孩子

下午的阳光斜斜地打在黑板上，粉笔灰在光柱里慢慢旋转。一个小男孩举起手，胳膊伸得直直的，像一根不甘屈服的小树杈。“老师，”他说，“为什么等式两边非要加同一个数？我加不一样的行不行？”教室里忽然安静下来，所有眼睛都看向讲台边那架蒙着灰尘的天平模型。

我笑了。我知道，这一刻来了——那个属于“等式的性质”的魔法时刻。在小学数学的世界里，有些概念像路标一样立在那里，看似简单，却通向整片代数原野。等式性质就是这样的路标。今天我想和你聊聊，我们怎样陪孩子一起，亲手摸一摸这个路标的温度。

身体是最好的天平

热身游戏：教室里的平衡术

铃声还没响完，孩子们已经站起来。我说：“现在，我们都是天平。”手臂向两侧平伸，手掌摊开，假装左右托盘。教室里顿时长出一片小树丛般的胳膊。

“左边放一把茶壶！”我喊。所有孩子左臂微微下沉。“右边放两个茶杯！”右臂跟着下沉。但很快，有人开始摇晃——他们在调整力度，让两条胳膊回到同一水平线。“平衡啦！”一个女孩小声欢呼。

这个游戏没有任何道具。身体就是第一教具。当孩子用自己的肌肉记忆“平衡”时，概念便不再是黑板上的符号。有个平时总爱趴在桌上的男孩，这次把背挺得笔直，眼睛盯着自己颤抖的指尖，仿佛真的在称量什么。后来他在日记里写：“我的胳膊今天当了数学家。”

从肌肉到思维

游戏之后，我们才请出那架真正的天平。金属托盘、指针、标尺——孩子们围上来，呼吸都轻了。放上一把茶壶（其实是砝码），右边放两个小茶杯（小砝码）。指针稳稳停在中间。

“你看到了什么？”我问。

“一样重。”他们说。

我慢慢地在两边各加一个茶杯。所有孩子屏住呼吸。天平动了动，又回到平衡。“哇——”声音里全是恍然大悟。我没有急着解释，只是继续加：两个、三个、五个。每次都是两边同时加同样的东西。天平每次都经历一次小小的摇摆，然后回归平静。

一个梳羊角辫的女孩突然说：“像跷跷板！我和弟弟玩的时候，他轻，我重，我们就得挪位置才能平衡。但这个天平……你加多少，它俩都得加一样多才行。”

这就是孩子语言里的“等式两边同时加上同一个数”。

放手：让规律自己浮出水面

第一次性质：陪伴式发现

我不喜欢把结论直接喂给孩子。数学规律应当是一场发现之旅。所以当第一个性质——等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立——开始浮现时，我做得最多的就是提问和等待。

“如果同时加上两个茶杯呢？”

“会怎样？”

“为什么你觉得还会平衡？”

孩子们七嘴八舌。有个男孩画了图：左边茶壶，右边茶杯茶杯。他在两边都画上更多的茶杯，然后认真数数。“你看，”他指着自己的草稿本，“左边原来有茶壶，右边有两个茶杯。现在两边都多了三个茶杯。茶壶没变，茶杯都多了三个，所以……嗯……右边还是比左边多两个茶杯？不对……”他陷入沉思。

另一个女孩插话：“不是多不多的问题！是两边增加的东西一样重。天平看的是总重量。”

那一刻，我几乎要鼓掌。他们正在用自己的语言构建逻辑。我没有纠正任何表述，只是又做了一次演示：两边同时拿掉一个茶杯。天平再次平衡。

终于，一个平时沉默寡言的孩子举起手，慢吞吞但清晰地说：“老师，是不是像……等式两边同时加或减同样的数，两边还是相等？”

教室里安静了一秒。然后，所有人都点头。

我们把它写在了黑板上。用字母：如果 \( a = b \)，那么 \( a + c = b + c \)，\( a - c = b - c \)。孩子们抄写的时候，脸上有种庄严的神情，仿佛在刻下什么秘密咒语。

第二次性质：放手的勇气

第二个性质——等式两边同时乘或除以同一个不为零的数——我决定完全放手。小组合作，每组一架小天平和若干砝码。任务只有一句话：“试试乘和除，看看天平会怎样。”

一开始有些混乱。有组孩子给左边放一个砝码，右边放两个，然后——他们把两边都乘以“三”，方法是左边放三个同样砝码，右边放六个。天平平衡。他们兴奋地记录。

但有组孩子遇到了麻烦。他们想“除以二”：左边四个砝码，右边八个砝码（原来两倍关系），然后试图把两边都拿走一半。但怎么拿“一半”砝码？他们争论起来。最后决定，左边留两个，右边留四个。天平倾斜了。

“为什么？”我问。

“因为……除以二应该是每边变成原来的一半。但我们原来左边是四，右边是八。四的一半是二，八的一半是四。二和四不一样重啊。”组长挠着头。

另一个孩子跳起来：“我知道了！除以二之前，两边得一样重才行！不然除以二之后还是不一样！”

多漂亮的错误！多珍贵的发现！我让他们把这个过程展示给全班看。全班一起看着那架倾斜的天平，突然明白了“同一个数”和“不为零”的分量。

至于为什么不能除以零，我们没讲抽象道理。我问：“如果你有六个苹果，要平均分给零个朋友，怎么分？”孩子们愣住，然后大笑。有孩子说：“那朋友不是不存在吗？没法分啊。”够了。除数为零的荒谬，已经在笑声里扎根。

练习：思维的游乐场

开放题的四扇窗户

巩固练习我不喜欢用题海。我设计了四道填空题，像四扇窗户，每扇打开后风景不同。

第一题：如果 \( 2x - 5 = 9 \)，那么 \( 2x = 9 + ( \quad ) \)。

几乎所有孩子都能填“5”。这是直接应用——等式两边同时加5。

第二题：如果 \( 5 = 10 + x \)，那么 \( 5x - ( \quad ) = 10 \)。

这里安静了许久。有孩子皱眉，有孩子开始试数。终于，一个女孩小声说：“是不是填 \( 5x - 5x \) ？不对……”她演算起来：从 \( 5 = 10 + x \) 得到 \( x = -5 \)。然后代入下面式子……“老师，我填 \( 25 \) ？”她不确定。

我请她解释。她在黑板上写：\( x = -5 \)，所以 \( 5x = -25 \)。要使得 \( 5x - (\text{空格}) = 10 \)，那么空格应该是 \( 5x - 10 = -25 - 10 = -35 \)？她卡住了。

另一个男孩站起来：“不用先求 x！看第一个式子，两边同时乘以 x 行吗？哦不行……等等，能不能把第一个式子整体代入？”他走上去，写下：从 \( 5 = 10 + x \) 知道 \( x = 5 - 10 = -5 \)。

然后第二个式子 \( 5x - k = 10 \) 即 \( -25 - k = 10 \)，所以 \( k = -35 \)。

全班看着他，眼神复杂。有佩服，有困惑。我说：“两种方法都行。第一种先解出 x，第二种整体思考。但你们发现没有，这道题在让你们灵活选择路径。”

我们讨论出最简洁的思路：由 \( 5 = 10 + x \) 得 \( x = -5 \)。代入 \( 5x - k = 10 \) 得 \( -25 - k = 10 \)，移项得 \( -k = 35 \)，所以 \( k = -35 \)。

填“-35”的孩子并不多，但思考的过程像一场脑内风暴，每个人都参与了。

第三题：如果 \( 3x = 7 \)，那么 \( 6x = ( \quad ) \)。

这道题很多人秒答“14”。理由很简单：等式两边同时乘以2。但也有孩子写成“21”，因为他用 \( 6x = 3x \times 2 \)，然后把 \( 3x \) 当成3乘以x，算成 \( 3 \times 7 \times 2 = 42 \)？

混乱暴露了概念弱点——他们还没完全把 \( 3x \) 视为一个整体。这正是练习的价值。

第四题：如果 \( 5x = 15 \)，那么 \( x = ( \quad ) \)。

几乎所有孩子填“3”。这是最直接的应用：等式两边同时除以5。

四道题，四种思维层次。下课时，有孩子跑来问：“老师，还有没有这样的题？像谜语一样。”我笑了。数学本就是最好的谜语。

遗憾与想象：如果重来一次

对比实验：那个未完成的版本

反思时，我总在想那场未做的对比实验：在天平两边加不同质量的物品。

如果当时，我在演示完同时加相同茶杯后，立刻在左边加一个茶杯，右边加两个茶杯，天平会怎样？孩子们会看到指针歪斜。那时我再问：“为什么这次不行？”

也许他们会更早地抓住“同一个数”的精髓——不是随便什么数都可以，必须是“同一个”。数学的严谨，就在这种对比里浮现。

有些真理，需要看见它的反面，才能确认它的存在。

字母表示：从具体到抽象的桥梁

另一个遗憾是字母表示用得不够。孩子已经学过用字母表示数，但在等式性质这里，我只在总结时写了 \( a = b \) 的形式。

如果重来，我会在每一次天平操作后，都请孩子用字母式子记录下来。比如，茶壶重量用 \( a \) 表示，茶杯重量用 \( c \) 表示。原来：\( a = 2c \)。两边同时加一个茶杯：\( a + c = 2c + c \)。两边同时加三个茶杯：\( a + 3c = 2c + 3c \)。

字母不是魔法符号，它是具体事物的替身。当孩子亲手把天平上的砝码替换成 \( a \) 和 \( c \)，抽象思维便悄悄生长。

有个教育家说，代数是从“算术思维”到“关系思维”的跳跃。天平就是跳板，字母就是起跳时的口号。

家庭时光：厨房里的等式

给父母的悄悄话

如果你在家想和孩子玩等式的游戏，不需要买天平。厨房就是最好的实验室。

两杯水一样多吗？让孩子倒在两个相同的杯子里，看水位是否相同。然后，同时在两杯水里加一勺糖，搅拌，再尝——甜度是否还一样？（当然，这里假设糖完全溶解，且孩子同意“甜度代表浓度平衡”这个比喻。）

或者更简单：两堆积木，孩子确认数量相等。然后你和他同时往每堆加三块积木。再数，是否还相等？

关键是“同时”和“同样”。生活里处处是等式：给两个花盆浇同样多的水，给姐妹俩分同样大的蛋糕，睡前故事给兄弟俩各读同样长时间……平衡与公平，是数学，也是伦理。

当孩子问“有什么用”

总有孩子会问：“学等式性质有什么用？”

除了为解方程做准备，我会说：它训练一种“保持平衡”的思维。

将来，他们写文章，修改时可能同时增删段落以保持结构平衡；他们做计划，调整任务时间以保持劳逸平衡；甚至与人相处，懂得给予和索取需要某种对等。

数学从来不只关于数字。它关于秩序，关于关系，关于在变化中寻找不变。

等式性质，就是第一堂关于“变化中不变”的哲学课。

尾声：天平还在那里

放学后，教室空了。那架天平还在讲台边，指针静静地指着中央。

我想起那个歪着脑袋问“为什么”的男孩。后来他跑来告诉我，他晚上用乐高积木搭了天平，还让弟弟一起玩“同时加积木”的游戏。

也许，这就是教学的全部意义：播下一颗种子，看它在别的土壤里发芽。

等式的性质，如今躺在他们的数学书里，安静如公式：

\[\text{如果 } a = b, \text{ 那么 } a + c = b + c, \quad a - c = b - c, \quad ac = bc, \quad \frac{a}{c} = \frac{b}{c} (c \neq 0)\]

但我知道，在某个孩子的心里，它还是一架天平，两头放着好奇和探索，永远在寻找平衡。