解二元一次方程组的“终极三板斧”

【来源：易教网 更新时间：2025-01-09】

我的一个学生栩栩如生地跟我总结了他学习方程的心得：一元一次方程：全会！二元一次方程：很累！二元一次方程组：崩溃！我笑笑：小鬼，总结的很好，说明你真是没有好好学呀。

其实，二元一次方程组并不难，咱们扪心自问，他有小学咱们学的数轮、组合这种一读题就犯恶心，边做题边吐的变态题目难吗？没有，但是咱们的学员为什么会有此感觉呢？

我觉得其中主要的一点就是咱们上当了，变得骄傲轻敌，古语有云，骄兵必败，咱们在刚开始接触一元一次方程的时候，觉得太小儿科了，学这些东西简直就是丢咱们初中生的身份。长此以往，咱们就没有太注意联系难题，因为一元一次方程确实不太好出难题，最多解方程时给你弄一坨一坨的分数小数。

但是到了二元一次方程，咱们就慢慢的有点崩溃了，这就是温水煮青蛙的道理，咱们，被煮了。

在解答与二元一次方程组有关的题目的过程中，许多同学往往只按照老师教的方法算出得数，殊不知，很多题目可以从其它的角度考虑，从其它的方法去解，可以让你的思路大开，提高你驭驾知识的能力。

所以，不用担心，前事不忘后事之师，只要咱们善于总结和反思，就一定能搞定二元一次方程组，下面数几个比较重要的思想。

一、代入法与加减法是解方程组两大必杀技！

代入法与加减法是解二元方程的一种基本方法，灵活地运用这两种方式，可以提高解方程的速度，也可简化我们的计算过程：

本题根据未知数的关系，灵活运用加减法，将解方程的过程简化。

在解方程组中，我们应当仔细观察各式之间的关系，灵活运用代入法与及加减法，可使计算过程简便有效。

二、换元法，解方程组的终极杀手锏！

在初中代数中，其实质是用字母代替数字，其本质是利用整体思想，把一个字母看成是一个式子，或者一个式子当成是一个字母。在解方程中也会经常利用到整体思想。

在学二元一次方程组，要求我们能够认真思考，仔细观察，灵活地运用一些方法，思想。那么，解决一些问题就能起到事倍功半的效果。

三、解决应用题的关键：审题、设元、列方程、解方程、答。

在利用方程解决实际问题时，最关键之处在于找出等量关系，其中，实际中的等量关系又往往是多个的，在解决此类问题中，我们可以利用不同的等量关系得出不同的解决方法。以七年级下册第10页，练习第一题为例，结合列表找等量关系。

题目：学校田径队的小刚在400米跑测试时，先以6米/秒的速度跑完了大部分路程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为1分零5秒，问小刚在冲刺阶段花了多少时间？

分析：本题关于路程、时间、速度之间的关系，可以用它们三者之间的关系来列方程，不管是路程、时间还是速度，又可分成前部分与后部分，还有总路程，与总时间。所以，可以用总路程与各路程之关的关系，又可以用总时间与各时间之间的关系，还可以用对应的路程、时间、速度之间的关系。其中几个等量关系可以如下：

（1）前段路程+后段路程＝总路程

（2）前段时间+后段时间＝总时间

（3）前段路程＝前段速度前段时间

（4）后段路程＝后段速度后段时间

如果设冲刺阶段花了x秒，1分零5秒＝65秒

解法一：前段路程+后段路程＝总路程，列表如下：

时间（秒）速度（米/秒）路程（米）

前段65－x66(65-x)

冲刺x88x

总65400

先填写题目中已知的，即表格中黑体的部分，接着把其它末知量通过其它的相等关系表示出来，要知前段路程，得先表示出前段时间，前段时间利用前段时间+后段时间＝总时间，可表示出前段时间为：(65－x)秒。前段路程利用前段路程＝前段速度前段时间，则前段路程为：6（65－x）米。

后段路程利用后段的时间、路程、速度之间的关系，可得后段路程为：8x米。根据表格及相等关系，就可列出如下方程：

6（65-x）+8x=400

这里如果把等量关系写成前段路程＝总路程－后段路程，则对应的方程又可以写成：

6(65-x)=400-8x

当然，还可以再变化成其它形式的方程。

解法二：前段时间+后段时间＝总时间，列表如下：

时间（秒）速度（米/秒）路程（米）

前段

6400－8x

冲刺x88x

总65400

要求与表一相同，可列出方程：(也可以改变这个相等关系列出其它和差关系的方程)

+x=65

解法三：前段路程＝前段速度前段时间，列表如下：

时间（秒）速度（米/秒）路程（米）

前段65－x6400－8x

冲刺x88x

总65400

先在表格中填上黑体部分，要利用这个相等关系，就要找出如何用x表示前段时间和后段路程，前段时间＝总时间－后段时间，即(65-x)秒。而前段路程＝总路程－后段路程，后段路程＝后段时间后段速度，可得出后段路程为8x米，前段路程为(400-8x)米

可列出方程：

6（65－x）＝400－8x

解法四：后段路程＝后段速度后段时间，列表如下：

时间（秒）速度（米/秒）路程（米）

前段65－x66(65-x)

冲刺x8400-6(65-x)

总65400

利用相同的方法，先用一些相等关系表示出末知量，然后用后段路程＝后段速度后段时间这个相等关系列出如下方程：

400-6(65-x)=8x

虽然，各种解法相差不多，但我认为，如果在把这种方式都运用到每一道题目，将能够提高我们对实际问题的分析能力，解决能力。

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