初三数学复习必背：反比例、二次函数、相似三角形考点全梳理，背完多拿20分

【来源：易教网 更新时间：2026-09-08】

初三的同学们现在是不是一翻数学模拟卷就头疼？选择题倒数两题、填空题最后三道、大题最后两题，处处是反比例函数、二次函数和相似三角形的影子，这三个模块在中考数学里占了30到40分的分值，要是能彻底搞懂核心考点、避开常见坑，数学成绩直接能往上提一个档次。

我当年初三备考的时候，这三个模块也丢了不少分，后来把每个考点拆碎了练，考试的时候这类题基本没扣过分，今天就把所有必背干货全整理出来，没有多余的废话，看完直接拎得清。

一、反比例函数：k的几何意义是必考点，不少同学都踩过增减性的坑

反比例函数的定义是基础中的基础：形如\( y=\frac{k}{x} \)（\( k\neq0 \)）的函数叫做反比例函数，\( k \)叫做反比例系数，它的图像是双曲线，这个定义里的\( k\neq0 \)是核心条件，判断一个函数是不是反比例函数，首先看有没有\( k\neq0 \)的前提，不少同学一看到带\( x^{-1} \)或者\( \frac{1}{x} \)形式的函数就直接选，忘了\( k \)不能为0的条件，判断题里经常埋这个坑。

接下来是\( k \)和图像象限的关系，记忆的时候可以记顺口溜“k正一三，k负二四”：当\( k>0 \)时，\( x \)和\( y \)的符号相同，点\( (x,y) \)在第一、三象限，所以图像位于第一、三象限；

当\( k<0 \)时，\( x \)和\( y \)的符号相反，点\( (x,y) \)在第二、四象限，图像就位于第二、四象限。

然后是很多同学都搞混的增减性问题，反比例函数的增减性一定要加前提：当\( k>0 \)时，在每个象限内，\( y \)随着\( x \)的增大而减小；当\( k<0 \)时，在每个象限内，\( y \)随着\( x \)的增大而增大。不少同学背的时候只记了增减性的结论，忘了“每个象限内”这个前提，考试碰到跨象限的\( x \)值比较\( y \)大小，直接选错，比如\( k>0 \)的时候，\( x_1=-1 \)在第三象限，\( x_2=2 \)在第一象限，这时候不能用“\( y \)随\( x \)增大而减小”的结论，必须代入函数计算才能比较大小，这个坑一定要避开。

是\( k \)的几何意义，这个几乎是每年中考必考的点：设\( P(a,b) \)是反比例函数\( y=\frac{k}{x} \)上任意一点，那么\( a \)和\( b \)的乘积等于\( k \)，也就是\( ab=k \)；

过\( P \)分别向\( x \)轴、\( y \)轴作垂线段，围成的矩形面积就是\( |k| \)；如果只向其中一条坐标轴作垂线，连接\( OP \)，围成的三角形面积就是\( \frac{|k|}{2} \)。

这里要注意加绝对值，因为\( k \)可能是负数，面积不可能是负的，很多同学算面积的时候忘了加绝对值，直接算出负数丢分，太可惜。碰到这类题直接记“矩形面积是\( |k| \)，三角形是\( \frac{|k|}{2} \)”，一秒就能出答案。

二、二次函数：开口、对称轴、与x轴交点关系搞懂，大题少丢15分

二次函数的定义同样要注意前提：形如\( y=ax^2+bx+c \)（\( a\neq0 \)，\( a \)、\( b \)、\( c \)为常数）的函数叫做二次函数，图像是一条抛物线，\( a\neq0 \)是核心判断条件，要是\( a=0 \)，这个函数就是一次函数，这类判断题每年都会考，不少同学看到有\( x^2 \)就直接选是二次函数，忘了前提条件丢分。

接下来是三个核心参数的作用：

第一个是\( a \)，\( a \)决定抛物线的开口方向：\( a>0 \)时开口向上，函数有最小值；\( a<0 \)时开口向下，函数有最大值，这个是最基础的考点。

第二个是\( c \)，\( c \)是抛物线和\( y \)轴交点的纵坐标，也就是当\( x=0 \)时，\( y=c \)，所以和\( y \)轴的交点坐标是\( (0,c) \)，看到交点坐标是\( (0,c) \)的题，直接找二次函数解析式里的常数项就行，不用代值计算。

第三个是对称轴，对称轴公式是直线\( x=-\frac{b}{2a} \)，我当年备考的时候总结了“左同右异”的口诀，一秒就能判断对称轴位置：如果\( a \)和\( b \)同号，那么\( -\frac{b}{2a} \)是负数，对称轴在\( y \)轴左侧；

如果\( a \)和\( b \)异号，那么\( -\frac{b}{2a} \)是正数，对称轴在\( y \)轴右侧，不用每次代公式计算，省下来的时间可以去做后面的题。

然后是二次函数的顶点坐标，顶点坐标是\( \left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right) \)，也就是对称轴对应的函数值，当\( a>0 \)时，顶点处是最小值；当\( a<0 \)时，顶点处是最大值，这个考点经常和二次函数的增减性结合出题。

接下来是二次函数和一元二次方程的关系，这个是大题的高频考点：一元二次方程\( ax^2+bx+c=0 \)（\( a\neq0 \)）的解，就是二次函数\( y=ax^2+bx+c \)（\( a\neq0 \)）的图像和\( x \)轴交点的横坐标，而判别式\( \Delta=b^2-4ac \)决定了交点的个数：当\( \Delta>0 \)时，图像和\( x \)轴有两个交点；

当\( \Delta=0 \)时，有一个交点；当\( \Delta<0 \)时，没有交点，这个不仅在选择题里考，后面求交点坐标、判断交点个数的时候都会用到，必须记熟。

然后是二次函数的增减性，注意和反比例函数的增减性区分开：当\( a>0 \)时，在对称轴左侧（\( x\leq-\frac{b}{2a} \)），\( y \)随\( x \)的增大而减小；

在对称轴右侧（\( x\geq-\frac{b}{2a} \)），\( y \)随\( x \)的增大而增大；当\( a<0 \)时反过来，左侧\( y \)随\( x \)增大而增大，右侧随\( x \)增大而减小。

不少同学把二次函数和反比例函数的增减性记混，考试的时候丢分，只要记住反比例是“每个象限内”，二次函数是“对称轴两侧”，就不会搞混。

是二次函数的平移规律，对于顶点式\( y=a(x-m)^2+k \)的图像，左右平移只和\( m \)有关，上下平移只和\( k \)有关：左加右减指的是\( x \)的变化，\( m \)是正数的话，\( x-m \)就是右移\( m \)个单位，\( m \)是负数的话，\( x-m \)就是\( x \)加正数，左移\( |m| \)个单位；

上加下减指的是整个函数的上下移动，\( k \)是正数就上移\( k \)个单位，\( k \)是负数就下移\( |k| \)个单位。

举个例子，\( y=2(x+3)^2-4 \)就是把\( y=2x^2 \)的图像向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的，很多同学搞混\( m \)的符号，记住“x减右移，x加左移”就不会错。

三、相似三角形：判定方法不用死记硬背，抓准两个核心就能做对题

相似三角形的考点里，比例的基本性质是基础：如果\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \)（\( b\neq0,d\neq0 \)），那么\( ad=bc \)；

反过来如果\( ad=bc \)且\( bd\neq0 \)，也能推出\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \)，还有合比性质：如果\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \)，那么\( \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d} \)，这个性质在相似三角形的边长计算里经常用到，比如已知两边的比例，求另外两边的长度，直接用合比性质就能算出来。

接下来是比例中项的概念：如果三个数\( a \)、\( b \)、\( c \)满足比例式\( a:b=b:c \)，那么\( b \)就叫做\( a \)和\( c \)的比例中项，要是换成线段的话，比例中项只能取正值，要是纯数值的话可正可负，这个区分考点经常考，不少同学忘了线段比例中项要取正，算出负数丢分。

然后是黄金分割的概念：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，这个比值就是黄金分割比，值为\( \frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618 \)，这个考点除了考概念，还会结合相似三角形出计算题，比如已知线段长度求黄金分割点的位置，或者实际应用题里结合建筑设计、舞台站位考黄金分割的应用。

是相似三角形的判定方法，一共五个，不用死记硬背，抓准两个核心就行：

第一个核心是角相等，只要两个三角形的两个角对应相等，就能判定相似，也就是我们常说的AA判定，这个是最常用的，比如看到平行线构成的A字型、8字型，直接找同位角、内错角相等，套AA判定就行，完全不用记复杂的公式。

第二个核心是边成比例加夹角相等，也就是SAS判定：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，就能判定相似，这里要注意夹角必须是两边的夹角，不能是其他角，不少同学找错夹角，直接判定错。

剩下的SSS判定（三边成比例）和相似的定义（对应角相等、对应边成比例）本质都是上面两个核心的变形，做题的时候先找角，找不到角再找边的比例和夹角，基本不会错。

这里要提醒大家，相似三角形没有“边边角”的判定，也就是两边成比例且其中一边的对角相等，不能判定相似，不少同学和全等三角形的判定记混，全等有AAS，相似里没有对应的判定规则，这个坑一定要避开。

四、三个模块高频易错点汇总，考前背完多拿20分

我把三个模块里大家最容易踩的坑都整理出来了，考前看一遍，能避开不少丢分点：

1. 反比例函数的增减性一定要加“每个象限内”的前提，跨象限比较\( y \)大小不能直接用增减性判断，必须代入计算；

2. 反比例函数里和坐标轴围成的面积要加绝对值，矩形面积是\( |k| \)，三角形面积是\( \frac{|k|}{2} \)，算出来负数直接丢分；

3. 二次函数的\( k\neq0 \)前提不能忘，有\( x^2 \)不一定是二次函数，\( a=0 \)的话就是一次函数；

4. 二次函数的平移规律记成“x减右移，x加左移，上加下减”，不要搞反\( m \)的符号；

5. 二次函数的增减性是对称轴两侧，不是整个定义域，和反比例函数的增减性区分开；

6. 相似三角形没有“边边角”判定，线段的比例中项只能取正值；

7. 黄金分割的比值是\( \frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618 \)，不要记成带加号的数值。

这三个模块的内容都是初三数学的核心考点，只要把上面的知识点记熟，再配合对应的练习题刷个二三十道，考试的时候碰到这类题基本不会丢分。我当年备考的时候，把每个易错点都整理在小本子上，每天睡前看一遍，考试的时候真的没有再踩过这些坑，大家也可以试试这个方法。

如果还有哪里看不懂的，可以翻翻课本对应的例题，或者评论区留言，咱们一起讨论。下次给大家整理二次函数和相似三角形结合的大题常考题型，都是压轴题的常客，记得关注哦。